Bevis at Cot 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Cot x (sin 5 x - sin 3 x)?

#sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) #

#sin a - sin b = 2 sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2) #

Høyre side:

#cot x (sin 5x - sin 3x) = cot x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) #

# = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x #

Venstre side:

#cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = barneseng (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2)

# = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x #

De er like #quad sqrt #

Svar:

Faktorformel (Sum-to-Product og Product-to-Sum identiteter)

Forklaring:

For dette spørsmålet kan vi bruke Sum-to-produkt og Produkt-til-Sum identiteter.

Jeg er lat, så her er et bilde av identitetene.

Produkt-til-sum-formelen ovenfor kan utledes via sammensatte vinkelidentiteter.

Bruk av substitusjonen #alpha = a + b # og #beta = a - b #, kan vi få følgende produkt-til-sum formler.

Så, nå som vi har fått det sortert, la oss bruke våre formler.

# sin (5x + 3x) / 2) cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) / sin (4x) cos (4x) cos (xx) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = barneseng (xx) - synd (4x - x)) = barneseng (x) (sin (5x) - synd (3x)) #

Alternativt kan du også bruke sum-til-produkt formel på høyre side:

#cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) = cos (x) / sin (x) (2 cos ((5x + 3x) / 2) sin ((5x - 3x) / 2)) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = 2cos (4x) sin (x) = LHS. #

# QED #