Svar:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Forklaring:
La #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
La oss anta at vi har å gjøre med virkelige verdier og dermed den virkelige naturlige logaritmen.
Da er vi tvunget til #x> 0 # for at #ln (5x) # defineres.
For noen #x> 0 # Begge begrepene er veldefinerte og så #f (x) # er en veldefinert funksjon med domene # (0, oo) #.
Noter det # 3LN (5) # og # X ^ 3 # er begge strenge monotoniske økende på dette domenet, så vår funksjon er også og er en-til-en.
For små positive verdier av # X #, begrepet # X ^ 3 # er liten og positiv og begrepet # 3LN (5x) # er vilkårlig stor og negativ.
For store positive verdier av # X #, begrepet # 3LN (5x) # er positiv og begrepet # X ^ 3 # er vilkårlig stor og positiv.
Siden funksjonen er også kontinuerlig, er rekkevidden # (- oo, oo) #
Så for enhver verdi av #y i (-oo, oo) # det er en unik verdi av #x i (0, oo) # slik at #f (x) = y #.
Dette definerer vår inverse funksjon:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Det er #F ^ (- 1) (y) # er verdien av # X # slik at #f (x) = y #.
Vi har vist (uformelt) at dette eksisterer, men det er ingen algebraisk løsning for # X # i form av # Y #.
Grafen av #F ^ (- 1) (y) # er grafen til #f (x) # reflektert i linjen # Y = x #.
I settnotasjon:
#f = {(x, y) i (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) i RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
