Hvordan integrerer jeg dette?

Svar:

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3 x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C #

Forklaring:

Vi ønsker å løse

# I = INT2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

La oss prøve det mer generelle problemet

# I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx #

Hvor vi søker løsningen

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + Acos (bx))) / (a + b ^ 2 ^ 2) + C #

Trikset er å bruke integrering av deler to ganger

# Intudv = uv-intvdu #

La # U = e ^ (ax) # og # Dv = cos (bx) dx #

Deretter # Du = ae ^ (ax) dx # og # V = 1 / bsin (bx) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) -a / Binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Bruk integrasjon av deler til gjenværende integral

# I_2 = a / Binte ^ (ax) sin (bx) dx #

La # U = e ^ (ax) # og # Dv = sin (bx) dx #

Deretter # Du = ae ^ (ax) dx # og # V = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / be ^ (ax) cos (BX) + a / Binte ^ (ax) cos (bx) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX) + a ^ 2 / b ^ 2inte ^ (ax) cos (bx) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Erstatt dette inn i det opprinnelige integralet og løse for # I_1 #, Det er litt lenge, men vi tar det trinnvis

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX) + C #

# (A ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX) + C #

# I_1 = b ^ 2 / (a + b ^ 2 ^ 2) (1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = 1 / (a + b ^ 2 ^ 2) (^ være (ax) sin (bx) + ae ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + Acos (bx))) / (a + b ^ 2 ^ 2) + C #

For ditt problem # A = ln (2) # og # B = 3 #

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3 x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 9) + C #

Forhåpentligvis er det ikke mange feil

Se svaret nedenfor: Vi har løst å bruke diskrete elementer i stedet for en generell formulering, og vi forenklet ikke sluttresultatet som følger: