Hva er standardformen for parabolas ligning med en directrix ved x = 103 og et fokus på (108,41)?

Svar:

# X = 1/10 (X-41) ^ 2 + 211/2 #

Forklaring:

En parabola er posisjonen til et punkt, som beveger seg slik at avstanden fra en gitt linje kalt directrix og et gitt punkt kalt fokus, er alltid like.

Nå, avstanden mellom to pints # (X_1, y_1) # og # (X_2, y_2) # er gitt av #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # og avstanden til et punkt # (X_1, y_1) # fra en linje # Ax + by + c = 0 # er # | (Ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) | #

Kommer til parabola med directrix # X = 103 # eller # x-103 = 0 # og fokus #(108,41)#, la poenget være like langt fra begge # (X, y) #. Avstanden til # (X, y) # fra # x-103 = 0 # er

# | (X-103) / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) | = | (x-103) / 1 | = | x-103 | #

og avstanden fra #(108,41)# er

#sqrt ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2) #

og som de to er like, ville likning av parabola være

# (108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2 = (x-103) ^ 2 #

eller # 108 ^ 2 + x ^ 2-216x + 41 ^ 2 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 103 ^ 2-206x #

eller # 11664 + x ^ 2-216x + 1681 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 10609-206x #

eller # Y ^ 2-82y-10x + 2736 = 0 #

eller # 10x = y ^ 2-82y + 2736 #

eller # 10x = (y-41) ^ 2 + 1,055 #

eller i vertex form # X = 1/10 (X-41) ^ 2 + 211/2 #

og toppunktet er #(105 1/2,41)#

Dens graf vises som vist under, sammen med fokus og directrix.

graf ((y ^ 2-82y-10x + 2736) ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2-0,6) (x-103) = 0 51,6, 210,4, -13,3, 66,1}