Løs øks ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Svar:

En rask skisse …

Forklaring:

gitt:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # med #a! = 0 #

Dette blir rotete ganske fort, så jeg vil bare gi en skisse av en metode …

Multipliser med # 256A ^ 3 # og erstatning #t = (4ax + b) # å få en deprimert monisk quartic av skjemaet:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Vær oppmerksom på at siden dette ikke har noen term i # T ^ 3 #, det må være i form:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (hvit) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Tilsvarende koeffisienter og omarrangere litt har vi:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):}

Så finner vi:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (hvit) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (hvit) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Multiplikere ut, multiplisere med # A ^ 2 # og omorganiserer litt, blir dette:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Denne "kubiske i # A ^ 2 #"har minst en ekte rot. Ideelt sett har den en positiv ekte rot som gir to mulige reelle verdier for #EN#. Uansett vil enhver rot av kubikken gjøre.

Gitt verdien av #EN#, vi har:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A)

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A)

Derfor får vi to kvadrater å løse.