Hvordan beviser du: secx - cosx = sinx tanx?

Bruke definisjonene av # Secx # og # Tanx #, sammen med identiteten

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, vi har

# sekx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2 x) / cosx #

# = Sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = Sinxtanx #

Svar:

Først konvertere alle vilkårene til # Sinx # og # Cosx #.

For det andre, bruk fraksjonssummeregler til LHS.

Til slutt bruker vi den pythagoranske identiteten: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Forklaring:

Først i spørsmål om disse skjemaene er det en god ide å konvertere alle termer til sinus og cosinus: så erstatt #tan x # med #sin x / cos x #

og erstatte #sec x # med # 1 / cos x #.

LHS, #sec x-cos x # blir # 1 / cos x-cos x #.

RHS, # sin x tan x # blir #sin x sin x / cos x # eller # sin ^ 2 x / cos x #.

Nå bruker vi fraksjonssummeregler til LHS, og gjør en felles base (akkurat som antall fraksjon som #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x-cos x => 1 / cos x-cos ^ 2 / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Til slutt bruker vi den pythagoranske identiteten: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (en av de mest nyttige identitetene for disse typer problemer).

Ved å omarrangere får vi det # 1-cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Vi erstatter # 1- cos ^ 2 x # i LHS med # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # som er lik den modifiserte RHS.

Dermed LHS = RHS Q.E.D.

Merk dette generelle mønsteret for å få ting i sinus og cosinus, ved hjelp av brøkreglene og den pythagoranske identiteten, løser ofte disse typer spørsmål.

Hvis vi ønsker det, kan vi også endre høyre side for å matche venstre side.

Vi skal skrive # Sinxtanx # i form av # Sinx # og # Cosx #, bruker identiteten #COLOR (red) (tanx = sinx / cosx) #:

# Sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Nå bruker vi den pythagoranske identiteten, som er # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Vi kan endre dette for å løse for # Sin ^ 2x #, så: #COLOR (red) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# Sin ^ 2 x / cosx = (1-cos ^ 2 x) / cosx #

Nå bare del opp telleren:

# (1-cos ^ 2 x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2 x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Bruk gjensidig identitet #COLOR (red) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Svar:

Det er egentlig så enkelt …

Forklaring:

Bruker identiteten # Tanx = sinx / cosx #, multipliserer # Sinx # på identiteten for å få:

# Secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Deretter multipliserer # Cosx # gjennom ligningen for å gi:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Vurderer # Secx # er omvendt av # Cosx #.

Til slutt bruker du den trigonometriske identiteten # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, det endelige svaret ville være:

# Sin ^ 2x = sin ^ 2x #