Hva er rekkevidden av en kvadratisk funksjon?

Svar:

Utvalget av #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # er:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "hvis" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "hvis" a <0):}

Forklaring:

Gitt en kvadratisk funksjon:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # med #a! = 0 #

Vi kan fullføre torget for å finne:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

For ekte verdier av # X # den kvadratiske termen # (X + b / (2a)) ^ 2 # er ikke-negativ, tar minimumsverdien #0# når #x = -b / (2a) #.

Deretter:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Hvis #a> 0 # så er dette den minste mulige verdien av #f (x) # og rekkevidden av #f (x) # er # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Hvis #a <0 # da er dette den maksimale mulige verdien av #f (x) # og rekkevidden av #f (x) # er # (- oo, c-b2 / / 4a) #

En annen måte å se på dette er å la #y = f (x) # og se om det er en løsning for # X # i form av # Y #.

gitt:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Trekke fra # Y # fra begge sider for å finne:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Diskriminanten # Delta # av denne kvadratiske ligningen er:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

For å få virkelige løsninger, krever vi #Delta> = 0 # og så:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Legg til # 4AC-b ^ 2 # til begge sider for å finne:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Hvis #a> 0 # da kan vi bare dele begge sider av # 4a # å få:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Hvis #a <0 # da kan vi dele begge sider av # 4a # og reverser ulikheten for å få:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #