Antall verdier av parameteren alfa i [0, 2pi] for hvilken kvadratisk funksjon, (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alfa x + 1/2 (cos alfa + sin alfa) er kvadratet av en lineær funksjon er ? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 1

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Hvis vi vet at uttrykket må være kvadratet av en lineær form da

# (sin alfa) x ^ 2 + 2 cos alfa x + 1/2 (cos alfa + sin alfa) = (ax + b) ^ 2 #

deretter gruppering koeffisienter vi har

# (alfa ^ 2-sin (alfa)) x ^ 2 + (2ab-2cos alfa) x + b ^ 2-1 / 2 (sinalfa + cosalpha) = 0 #

så tilstanden er

# {(a ^ 2-sin (alfa) = 0), (ab-cos alfa = 0), (b ^ 2-1 / 2 (sinalfa + cosalpha) = 0):}

Dette kan løses og oppnår først verdiene for # A, b # og erstatte.

Vi vet det # a ^ 2 + b ^ 2 = synd alfa + 1 / (sin alfa + cos alfa) # og

# a ^ 2b ^ 2 = cos ^ 2 alpha # Nå løser

# Z ^ 2- (a ^ 2 + b ^ 2) z + a ^ 2b ^ 2 = 0 #. Løsning og erstatning for # a ^ 2 = sinalpha # vi oppnår

#a = b = pm 1 / rot (4) (2), alfa = pi / 4 #

#a = pm sqrt (2) / rot (4) (5), b = pm 1 / (sqrt (2) rot (4) (5)), alpha = pi-tan ^ -1