Hvordan bevise at serien er konvergerende?

Svar:

Konvergerer ved direkte sammenligningstest.

Forklaring:

Vi kan bruke Direct Comparison Test, så langt vi har

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, serien starter på en.

For å bruke Direct Comparison Test må vi bevise det # A_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # er positiv på # 1, oo) #.

Legg merke til det på intervallet # 1, oo), cos (1 / k) # er positiv. For verdier av #X # Cosx # er i den første kvadranten (og derfor positiv). Vel, for # k> = 1, 1 / k så, #cos (1 / k) # er faktisk positiv.

Videre kan vi si #cos (1 / k) <= 1 #, som #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Deretter kan vi definere en ny sekvens

# B_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # for alle # K. #

Vi vil, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Vi vet dette konvergerer av # P- #serie test, er det i skjemaet # Sum1 / k ^ p # hvor # P = 2> 1 #.

Da, siden større serier konvergerer, må også den mindre serien.

Svar:

Den konvergerer ved direkte sammenligningstest (se nedenfor for detaljer).

Forklaring:

Kjenne at rekkevidden av cosinus er -1,1. Sjekk ut grafen til #cos (1 / x) #:

graf {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Som du kan se, er maksimum Verdien dette vil oppnå, vil være 1. Siden vi bare prøver å bevise konvergens her, la oss sette telleren til 1 og forlate:

# Sum1 / (9k ^ 2) #

Nå blir dette et veldig enkelt direkte sammenligningstestproblem. Husk hva direkte sammenligningstesten gjør:

Vurder en vilkårlig serie # A_n # (vi vet ikke om det konvergerer / avviker), og en serie som vi kjenner til konvergens / divergens, # B_n #:

Hvis #b_n> a_n # og # B_n # Konvergerer da # A_n # Konvergerer også.

Hvis #b_n <a_n # og # B_n # divergerer da # A_n # divergerer også.

Vi kan sammenligne denne funksjonen med #b_n = 1 / k ^ 2 #. Vi kan gjøre dette fordi vi vet at det konvergerer (på grunn av p-testen).

Så siden # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, og # 1 / k ^ 2 # konvergerer, kan vi si at serie konvergerer

Men vent, vi viste bare at denne serien konvergerer når telleren = 1. Hva med alle de andre verdiene #cos (1 / k) # kunne ta? Vel, husk at 1 er maksimum verdien som telleren kunne ta. Så, siden vi har bevist at dette konvergerer, har vi indirekte bevist at denne serien har konvergert for noen verdi i telleren.

Håper det hjalp:)