U_1, u_2, u_3, ... er i geometrisk progresjon (GP) .Det vanlige forholdet mellom betingelsene i serien er K.Nå bestemmer summen av serien u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) i form av K og u_1?

Svar:

(k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Forklaring:

Den generelle termen for en geometrisk progresjon kan skrives:

#a_k = a r ^ (k-1) #

hvor #en# er den første termen og # R # det felles forholdet.

Summen til # N # vilkårene er gitt av formelen:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#COLOR (hvit) () #

Med informasjonen gitt i spørsmålet, den generelle formelen for # U_k # kan skrives:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Noter det:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Så:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

# kalk (hvit) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2K) * (K ^ 2) ^ (k-1)

#color (hvit) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) hvor # A = u_1 ^ 2K # og #r = K ^ 2 #

#color (hvit) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r)

#color (hvit) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n)))