Radien av en sirkel som er skrevet i en like-sidig trekant er 2. Hva er trekantens omkrets?

Svar:

Perimeter er lik # 12sqrt (3) #

Forklaring:

Det er mange måter å løse dette problemet på.

Her er en av dem.

Midtpunktet av en sirkel som er skrevet inn i en trekant ligger på skjæringspunktet mellom sine vinkels bisektorer. For likeverdig trekant er dette det samme punktet hvor dets høyder og medianer også krysser.

Enhver median er delt med et skjæringspunkt med andre medianer i forhold #1:2#. Derfor er median, høyde og vinkel bisektorer av en like-sidig trekant tilsvarende

#2+2+2 = 6#

Nå kan vi bruke Pythagorasetning til å finne en side av denne trekanten hvis vi kjenner sin høyde / median / vinkel bisektor.

Hvis en side er # X #, fra pythagorasetningen

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Fra dette:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Perimeter er lik tre sider:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Svar:

Perimeter er lik # 12sqrt (3) #

Forklaring:

Alternativ metode er under.

Anta, vår likeverdige trekant er # Del ABC # og det er sentrum av en innskrevet sirkel # O #.

Tegn en median / height.angle bisector fra vertex #EN# gjennom punktet # O # til den krysser siden # BC # på punkt # M #. Åpenbart, # OM = 2 #.

Tenk på trekant # Delte OBM #.

Det er Ikke sant siden #OM_ | _BM #.

Angle # / _ OBM = 30 ^ o # siden # BO # er en vinkel bisector av # / _ ABC #.

Side # BM # er halvparten av siden # BC # siden #ER# er en median.

Nå kan vi finne # OB # som en hypotenuse i en riktig trekant med en skarp vinkel lik # 30 ^ o # og kateter motsatt det tilsvarer #2#. Denne hypotenuse er dobbelt så lang som dette kateteret, det vil si #4#.

Å ha hypotenuse # OB # og katetus # OM #, finn en annen katetus # BM # ved Pythagorasetning:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Derfor,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Perimeter er

# 3 * BC = 12sqrt (3) #