Hvordan bruker du grense-sammenligningstesten for sum 1 / (n + sqrt (n)) for n = 1 til n = oo?

Svar:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # divergerer, dette kan ses ved å sammenligne det med #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Forklaring:

Siden denne serien er summen av positive tall, må vi finne enten en konvergent serie #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # slik at #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # og konkludere med at serien vår er konvergent, eller vi må finne en divergerende serie slik som #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # og konkluderer med at vår serie også er divergerende.

Vi bemerker følgende:

Til

#N> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

Derfor

# N + sqrt (n) <= 2n #.

Så

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Siden det er velkjent at #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # divergerer, så #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # divergerer også, siden hvis det ville konvergere, da # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # vil også konvergere, og dette er ikke tilfelle.

Nå ser vi sammenligningstesten #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # divergerer.

Grense sammenligning testen tar to serier, # Suma_n # og # Sumb_n # hvor #a_n> = 0 #, # B_ngt0 #.

Hvis #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # hvor #L> 0 # og er endelig, da enten begge serier konvergerer eller begge serier avviker.

Vi burde la # A_n = 1 / (n + sqrtn) #, sekvensen fra den angitte serien. En god # B_n # valg er den overveldende funksjonen som # A_n # nærmer seg som # N # blir stor. Så la # B_n = 1 / n #.

Noter det # Sumb_n # divergerer (det er den harmoniske serien).

Så ser vi det #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Fortsetter ved å dele gjennom # N / n #, blir dette #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Siden grensen er #1#, som er #>0# og definert, ser vi det # Suma_n # og # Sumb_n # vil både avvike eller konvergere. Siden vi allerede vet på # Sumb_n # divergerer, kan vi konkludere det # Suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # divergerer også.