Tre stenger hver med masse M og lengde L er sammenføyde for å danne en like-sidig trekant. Hva er momentet av et system om en akse som passerer gjennom massesenteret og vinkelrett på trekantenes plan?

Svar:

# 1/2 ML ^ 2 #

Forklaring:

Trinnmomentet for en enkelt stang om en akse som går gjennom senteret og vinkelrett på den er

# 1/12 ML ^ 2 #

Den på hver side av den liksidige trekant om en akse som passerer gjennom trekantens midtpunkt og vinkelrett på planet hans er

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(ved parallell akse-teorien).

Trinnmomentet for trekanten om denne aksen er da

# 3times 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Forutsatt at stengene skal være tynne, er midtpunktet for hver stang midt i stangen. Som stengene danner en like-sidig trekant, vil sentrum av masse av systemet være ved midtpunktet av trekanten.

La # D # være avstand fra sentroid fra noen av sidene.

# D / (L / 2) = tan30 #

# => D = L / 2tan30 #

# => D = L / (2sqrt3) # …..(1)

Moment of inertia av en enkelt stang om en akse som passerer gjennom centroid vinkelrett på planet av trekanten ved hjelp av parallell akse therorm er

#I_ "stang" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Det er tre likestilt stenger, derfor vil total trekkmoment av tre stenger være

#I_ "system" = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => I_ "system" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Andre sikt ved bruk av (1) er

# 3Md ^ 2 = 3 M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Som moment av treghet av en stang om dens midtpunkt er

#I_ "cm" = 1 / 12ml ^ 2 #

Første termen i (2) blir

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ml ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

Ved å bruke (3) og (4) blir ligning (2)

#I_ "system" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2 #