Hva er en abelisk gruppe, fra et lineært / abstrakt algebraperspektiv?

Svar:

En Abelian-gruppe er en gruppe med den ekstra egenskapen til gruppens operasjon som er kommutativ.

Forklaring:

EN gruppe # <G, •> # er et sett # G # sammen med en binær operasjon # •: GxxG-> G # som oppfyller følgende betingelser:

1. # G # er lukket under #•#.

   For noen # A, Bing #, vi har # a • b i G #

2. #•# er assosiativ.

   For noen # A, b, cing #, vi har # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. # G # inneholder en identitetselement

   Det finnes # Eing # slik at for alle # AinG #, # En • e = e • a = en #

4. Hvert element av # G # har en omvendt i # G #

   For alle # AinG # det finnes #A ^ (- 1) Ing # slik at # En • en ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = e #

En gruppe sies å være abelsk hvis det også har eiendommen som #•# er commutative, det vil si for alle # A, Bing #, vi har # a • b = b • en #.

Gruppen # <ZZ, +> # (heltallene med standard tillegg) er en Abelian-gruppe, da den oppfyller alle fem av de ovennevnte forholdene.

Gruppen # GL_2 (RR) # (settet av inverterbare # 2 "x" 2 # matriser med ekte elementer sammen med matriksmultiplikasjon) er ikke-abelisk, mens det oppfyller de fire første betingelsene, er matriksmultiplikasjon mellom inverterbare matriser ikke nødvendigvis kommutativ. For eksempel:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

men

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#