Svar:
Allerede besvart her.
Forklaring:
Du må først finne # Sin18 ^ @ #, for hvilke detaljer er tilgjengelige her.
Så kan du få # Cos36 ^ @ # som vist her.
Svar:
Vi løser #cos (2 theta) = cos (3 theta) # eller # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # til # x = cos 144 ^ sirkel # og få #cos 36 ^ sirk = -cos 144 ^ sirk = 1/4 (1 + sqrt {5}). #
Forklaring:
Vi får #cos 36 ^ sirk # mildt indirekte fra dobbel og trippel vinkelformel for cosinus. Det er ganske kult hvordan det er gjort, og har en overraskelse slutt.
Vi vil fokusere på #cos 72 ^ sirk #. Vinkelen # Theta = 72 ^ Krets # tilfredsstiller
#cos (2 theta) = cos (3 theta). #
La oss løse det for # Theta #, husker #cos x = cos a # har løsninger #x = pm a + 360 ^ sirk k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ sirk k #
# 5 theta = 360 ^ sirk k # eller # -theta = 360 ^ sirk k #
#theta = 72 ^ sirk k #
Det inkluderer # 360 ^ sirk k # så vi kan slippe "eller" delen.
Jeg skriver ikke et mysterium her (til tross for overraskelsen slutter) så jeg nevner det #cos (2 (72 ^ sirk)) = cos (144 ^ sirk) = - cos (36 ^ sirk) # er også en gyldig løsning, og vi ser hvordan det er relatert til spørsmålet.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
La nå # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Vi vet # x = cos (0 ganger 72 ^ sirkel) = 1 # er en løsning så # (X-1) # er en faktor:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Kvadratisk har røtter
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Den positive må være #cos 72 ^ sirk # og den negative #cos 144 ^ sirk #.
#cos 144 ^ sirk = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ sirk = cos (180 ^ sirk - 144 ^ sirk) = -cos 144 ^ sirk = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Det er svaret. Overraskelsen er at det er halvparten av Golden Ratio!
