Svar:
#= 6 # kubiske enheter
Forklaring:
den normale vektoren er #((2),(3),(1))# som peker ut i retning av oktant 1, så volumet i spørsmålet er under flyet og i oktant 1
vi kan skrive flyet som #z (x, y) = 6 - 2x - 3y #
til #z = 0 # vi har
- # z = 0, x = 0 innebærer y = 2 #
- # z = 0, y = 0 innebærer x = 3 #
og
- - # x = 0, y = 0 innebærer z = 6 #
det er dette:
volumet vi trenger er
#int_Az (x, y) dA #
# = int_ (x = 0) ^ (3) int_ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) 6 - 2x - 3y dy dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6y - 2xy - 3 / 2y ^ 2 (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6 (2-2 / 3 x) - 2x (2-2 / 3 x) - 3/2 (2-2 / 3 x) ^ 2 = 0) ^ (2 - 2/3 x) dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 12-4 x - 4x + 4/3 x ^ 2 - 6 - 2/3 x ^ 2 + 4x dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6- 4 x + 2/3 x ^ 2 dx #
# = 6x-2x ^ 2 + 2/9 x ^ 3 _ (x = 0) ^ (3) #
#= 18- 18 + 54/9 #
#= 6 #
Svar:
6
Forklaring:
Vi skal utføre en trippel integrering.
Det kartesiske koordinatsystemet er det mest anvendelige. Ordren for integrasjon er ikke kritisk. Vi skal gå z første, y midten, x sist.
#underline ("Bestemme grenser") #
På flyet #z = 6 - 2x - 3y # og på koordinatplanet #z = 0 # derav
# z: 0 rarr 6 - 2x - 3y #
Langs # Z = 0 #, # Y # går fra 0 til # 3y = 6 - 2x # derav
#y: 0 rarr 2 - 2 / 3x #
Langs # y = 0, z = 0 # derav
#x: 0 rarr 3 #
Vi finner volumet slik #f (x, y, z) = 1 #. Integral blir
# Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) int_0 ^ (6-2x-3y) dzdydx #
# = Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) z _0 ^ (6-2x-3y) dydx #
# = Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) (6-2x-3y) dydx #
# = int_0 ^ 3 6y-2xy-3 / 2y ^ 2 _0 ^ (2-2 / 3x) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 (2-2 / 3x) - 2x (2-2 / 3x) - 3/2 (2-2 / 3x) ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 4x - 4x + 4 / 3x ^ 2 - 3/2 (4 - 8 / 3x + 4 / 9x ^ 2)) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 8x + 4 / 3x ^ 3 - 6 + 4x - 2 / 3x ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 - 4x + 2 / 3x ^ 2) dx #
# = 6x - 2x ^ 2 + 2 / 9x ^ 3 _0 ^ 3 #
#=6(3) - 2(3)^2 +2/9(3)^3 #
#=6#
