Hva er den enkleste radikale formen for sqrt115?

Svar:

Det er ingen enklere form

Forklaring:

Med radikaler forsøker du å faktorisere argumentet, og se om det er noen firkanter som kan "tas ut fra under roten".

Eksempel: # Sqrt125 = sqrt (5xx5xx5) = sqrt (5 ^ 2) xxsqrt5 = 5sqrt5 #

I dette tilfellet, ikke slik lykke:

# Sqrt115 = sqrt (5xx23) = sqrt5xxsqrt23 #

Svar:

#sqrt (115) # er allerede i enkleste form.

Forklaring:

Den primære faktorisering av #115# er:

#115 = 5*23#

Siden det ikke er noen firkantede faktorer, er det ikke mulig å forenkle kvadratroten. Det er mulig å uttrykke det som et produkt, men det regnes ikke som enklere:

#sqrt (115) = sqrt (5) * sqrt (23) #

#COLOR (hvit) () #

Bonus

Til felles med enhver irrasjonell kvadratrot av et rasjonelt tall, #sqrt (115) # har en gjentatt fortsatt fraksjon ekspansjon:

#sqrt (115) = 10; bar (1,2,1,1,1,1,1,2,1,20) #

#=10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(20+1/(1+…)))))))))))#

Du kan avkorte den fortsatte fraksjonen ekspansjonen tidlig for å gi rasjonelle tilnærminger for #sqrt (115) #.

For eksempel:

#sqrt (115) ~~ 10; 1,2,1,1,1,1,1,1,1 #

#= 10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/1))))))))#

#=1126/105#

Faktisk ved å avkorte like før slutten av den gjentatte delen av den fortsatte fraksjonen, har vi funnet den enkleste rasjonelle tilnærming for #sqrt (115) # som tilfredsstiller Pells ligning.

Det er:

#115*105^2 = 1267875#

#1126^2 = 1267876#

bare avvike med #1#.

Dette gjør # 1126/105 ~~ 10.7bar (238095) # en effektiv tilnærming til #sqrt (115) ~~ 10.7238052947636 #