Hva er DeMoivres setning? + Eksempel

DeMoivre's Theorem expander er på Eulers formel:

# E ^ (ix) = cosx + isinx #

DeMoivre's Theorem sier at:

• # (E ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
• #cos (NX) + isin (NX) - = (cosx + isinx) ^ n #

Eksempel:

#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (Cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #

Derimot, # I ^ 2 = -1 #

# (Cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #

Løsning for ekte og imaginære deler av # X #:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

Sammenligning med #cos (2x) + ISIN (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

Dette er de dobbelte vinkelformlene for # cos # og #synd#

Dette gjør at vi kan utvide #cos (nx) # eller #sin (nx) # når det gjelder krefter av # Sinx # og # Cosx #

DeMoivres teorem kan tas videre:

gitt # Z = cosx + isinx #

# Z ^ n = cos (nx) + ISIN (nx) #

#z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) #

#z ^ (- n) = 1 / (cos (NX) + isin (nx)) xx (cos (nx) -isin (nx)) / (cos (nx) -isin (nx)) = (cos (nx) -isin (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -isin (nx) #

# Z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# Z ^ n-Z ^ (- n) = 2isin (nx) #

Så, hvis du ønsket å uttrykke # Sin ^ nx # i form av flere vinkler av # Sinx # og # Cosx #:

# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #

Utvid og rett og slett, skriv inn verdier for # Z ^ n + z ^ (- n) # og # Z ^ n-Z ^ (- n) # hvor nødvendig.

Men hvis det er involvert # cos ^ nx #, så ville du gjøre det # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # og følg lignende trinn.