Spørsmål # 0df97

Svar:

Svaret på 4 er # E ^ -2 #.

Forklaring:

Problemet er:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Nå er dette et vanskelig problem. Løsningen ligger i svært forsiktig mønstergenkjenning. Du kan kanskje huske definisjonen av # E #:

# E = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2,718 … #

Hvis vi kunne omskrive grensen som noe nær definisjonen av # E #, vi ville ha vårt svar. Så, la oss prøve det.

Noter det #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # tilsvarer:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Vi kan dele opp fraksjonene slik:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Vi kommer dit! La oss faktorere ut en #-2# fra toppen og bunnen:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (X-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (avbryt (-2)) / (avbryt (-2) (- X-2))) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- X-2)) ^ (2x + 2) #

La oss bruke substitusjonen # U = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- X-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Egenskapene til eksponenter sier: # X ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Så #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # tilsvarer:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Egenskapene til eksponenter sier også at: # X ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Dette betyr at dette ytterligere reduserer til:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Per definisjon, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; og ved bruk av direkte substitusjon på andre grenseutbytter:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Så løsningen er …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (E) ^ - 2 (1) #

# = E ^ -2 #