Spørsmål # 90cf3 + Eksempel

Svar:

For å finne røttene til ligninger som # e ^ x = x ^ 3 #, Anbefaler jeg at du bruker en rekursiv numerisk analysemetode, kalt Newtons metode

Forklaring:

La oss gjøre et eksempel.

For å bruke Newtons metode skriver du ligningen i skjemaet #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Compute #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Fordi metoden krever at vi gjør den samme beregningen mange ganger, til den konvergerer, anbefaler jeg at du bruker et Excel-regneark. Resten av svaret mitt vil inneholde instruksjoner om hvordan du gjør dette.

Skriv inn et godt gjetning for x i celle A1. For denne ligningen vil jeg legge inn 2.

Skriv inn følgende i celle A2:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Vær oppmerksom på at ovenstående er Excel-regnearksspråk for

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Kopier innholdet til celle A2 i A3 til A10. Etter bare 3 eller 4 rekursjoner, kan du se at metoden har konvergert på

#x = 1.857184 #

Svar:

Vi kan bruke Mellomverdieretningen til å se at hvert par har minst ett skjæringspunkt.

Forklaring:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # er kontinuerlig på hele reelle linjen.

På # X = 0 #, vi har #f (0) = 1 #.

På # x = -1 #, vi har #f (-1) = 1 / e-1 # som er negativ.

# F # er kontinuerlig på #-1,0#, så det er minst en # C # i #(-1,0)# med #f (c) = 0 #.

#G (x) = e ^ x-x ^ 3 # er kontinuerlig på hele reelle linjen.

På # X = 0 #, vi har #G (0) = 1 #.

På # X = 2 #, vi har #g (2) = e ^ 2-8 # som er negativ.

(Noter det # e ^ 2 ~~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# G # er kontinuerlig på #0,2#, så det er minst en # C # i #(0,2)# med #G (c) = 0 #.