Hvordan konvertere r = 7 / (5-5costheta) til rektangulær form?

Svar:

Det er den sidelengs parabolen # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

Forklaring:

Denne er interessant fordi den bare divergerer; Minste av nevnen er null. Det er en konisk del; den bare divergerende tror jeg gjør det til en parabola. Det spiller ingen rolle mye, men det forteller oss at vi kan få en fin algebraisk form uten trig-funksjoner eller firkantede røtter.

Den beste tilnærmingen er sorta bakover; vi bruker polar til rektangulære substitusjoner når det synes den andre veien ville være mer direkte.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Så # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Vi ser #R> 0. # Vi begynner med å rydde fraksjonen.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Vi har en #r cos theta # så det er # X. #

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Vår første observasjon var #r> 0 # så kvadrering er ok.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Nå erstatter vi igjen.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Teknisk har vi svart på spørsmålet på dette tidspunktet, og vi kunne stoppe her. Men det er fortsatt algebra å gjøre, og forhåpentligvis en belønning på slutten: kanskje vi kan vise dette er egentlig en parabola.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

graf {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17,35, 50, -30, 30}

Ja, det er en parabol, rotert # 90 ^ Krets #fra vanlig orientering.

Sjekk: Alpha eyball