Hvordan løser jeg 2sinx = cos (x / 3)?

Svar:

Våre omtrentlige løsninger er:

# x = {163.058 ^ sirk, 703.058 ^ sirk, 29.5149 ^ sirk, 569.51 ^ sirk, -192.573 ^ sirk, eller -732.573 ^ sirk} + 1080 ^ sirk k quad #

for heltall # K #.

Forklaring:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Dette er en ganske tøff en.

La oss begynne med å sette inn # Y = x / 3 # så # x = 3y # og erstatte. Deretter kan vi bruke trippelformelen:

# 2 synd (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

La oss firkantet, så vi skriver alt i form av # sin ^ 2 y #. Dette vil sannsynligvis introdusere fremmede røtter.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

La # s = sin ^ 2 y #. Squared sines kalles sprer seg i rasjonell trigonometri.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Det er en kubisk ligning med tre virkelige røtter, kandidater til den kvadratiske sines av # 3x. # Vi kunne benytte den kubiske formelen, men det vil bare føre til noen kube røtter av komplekse tall som ikke er spesielt nyttige. La oss bare ta en numerisk løsning:

# s 0.66035 eller s 0.029196 eller s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

La oss jobbe i grader. Våre potensielle omtrentlige løsninger er:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) ca pm 163.058 ^ sirk eller pm 703.058 ^ sirk #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0,029196}) ca pm 29.5149 ^ sirk eller pm 569.51 ^ sirk #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) ca pm 192.573 ^ sirkel eller pm 732.573 ^ sirkel #

La oss se om noen av dem jobber. La #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ sirk) ca. 0.00001 quad # det er en løsning.

#e (-163.058 ^ sirk) ca -1,17 quad # ikke en løsning.

Klart høyst en av a # Pm # par vil fungere.

Ti mer å gå.

#e (703.058 ^ sirk) ca 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ sirk) quad # Nei

#e (29.5149 ^ sirk) ca 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ sirk) quad # Nei

#e (569.51 ^ sirk) ca 10 ^ {4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ sirk) quad # Nei

#e (192.573 ^ sirk) ca -7,7 quad # Nei

#e (-192.573 ^ sirk) ca 0.00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ sirk) ca -7,7 quad # Nei

#e (-732.573 ^ sirk) ca. 0.00001 quad sqrt #

Arcsin kommer med a # + 360 ^ sirk k #, og faktoren av tre gjør det # 1080 ^ sirk k. #

OK, våre omtrentlige løsninger er:

# x = {163.058 ^ sirk, 703.058 ^ sirk, 29.5149 ^ sirk, 569.51 ^ sirk, -192.573 ^ sirk, -732.573 ^ sirk} + 1080 ^ sirk k quad # for heltall # K #.