Hvorfor konvergerer energinivåene til et kontinuum og hva er et kontinuum?

De kontinuum er rett og slett en gruppe energinivåer hvis energiforbrudd er ubetydelig liten, og det nås når den elektroniske kinetiske energi overskrider den potensielle energien som ville felle dem.

Energinivåer kan kun konvergere til et kontinuum når den potensielle energien som feller elektronen er avgrenset, eller om det taper av. Når det er uendelig, Nei kontinuum kan forekomme.

FORBEHOLD: DETTE ER ET REFERENCE SVAR!

Følgende er eksempler på potensielle energi brønner Vanligvis sett i kvantfysikk, med kjente energiløsninger, som kanskje eller ikke konvergerer til et kontinuum:

1D FINITE SQUARE WELL

De potensiell energi er gitt av:

#V (x) => = L), (0, -L <x <L): #

hvor # V_0 # er en endelig potensiell energiværdi. Boksen har lengde # 2L #, og er sentrert på #x = 0 #.

I dette tilfellet, # V # stivt avskåret på # V_0 #, og dette kalles vi et fast, begrenset potensial.

Dette problemet løses generelt på en stykkevis måte, definerer en bølgefunksjon for de tre seksjonene av den potensielle energibroen. Energiløsningene er lettest bestemt ved å tegne separat for å finne "odde" og "jevne" løsninger.

De enhetlig løsning er:

#E_n = (ℏ ^ 2v_n ^ 2) / (2mL ^ 2) #

hvor # Vin + # er kvante nummeret for hvert energinivå.

Fordi brønnen er endelig, # Vin + # er ikke et heltall, og de ulige og jevne løsningene tillater deg å kutte sammen kvante tallene som er tillatt. Det betyr også det et kontinuum kan nås.

Den fullstendige løsningen er vist her, og viser nøyaktig hvordan du kan løse dette problemet trinn for steg fra begynnelse til slutt ved å sette opp bølgefunksjonene for hver seksjon, gjøre de riktige bytteene, etc.

1D INFINITE WELL (PARTICLE IN A BOX)

Den uendelige brønnen er en forlengelse av den endelige brønnen for # V_0 -> oo #:

Her, den potensiell energi er rett og slett gitt av:

#V (x) => = L), (0, -L <x <L): #

Dette er trolig den enkleste typen potensielt energiproblem du kan løse, og du kan gjøre det på papir uten kalkulator.

De energiløsning har en veldig kjent form:

#E_n = (ℏ ^ 2n ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

Den eneste forskjellen er det # N # må være et heltall som starter på #n = 1 #, og at det er en faktor av # Pi ^ 2 # foran.

Her har vi ingen kontinuum fordi det ikke er noen slutt på hvor høyt dette egentlig er. Vi sier at partikkelen aldri kan trenge inn i den "klassiske regionen", som #E prop n ^ 2 #, som betyr det vil aldri avta.

Den fullstendige løsningen er vist her, løst fra begynnelse til slutt, inkludert Schrödinger-ligningen for problemet.

Det er et grunnleggende problem i kvantkemi, og hvis du tar den klassen, må du vite hvordan du gjør dette innvendig og utvendig.

(3D) HYDROGEN ATOM

Dette er det mest kjente problemet, kanskje, og er godt anvendt generelt i kjemi; potensiell energibrønn ser slik ut:

I dette tilfellet er det potensiell energi er gitt av:

#V (r) = - (e ^ 2) / (4piepsilon_0r) #

hvor #r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) # er en radial koordinat i et sfærisk koordinatsystem, #x = rsinthetacosphi #, #y = rsinthetasinphi #, og #z = rcostheta #. De andre symbolene er kjente konstanter.

Dette problemet er en av de mest besværlige å løse, og jeg går gjennom ca 90% av løsningen her.

De energiløsninger er gitt som:

#E_n = - (Z ^ 2 m_e e ^ 4) / (8h ^ 2epsilon_0 ^ 2n ^ 2) #

eller i enklere enheter, #E_n = - "13,6 eV" cdot Z ^ 2 / n ^ 2 #, hvor Z. er atomnummeret.

Det vi bryr oss om er at energien går som # 1 / n ^ 2 #, som # N # øker energien Konvergerer seg til et kontinuum, det vil si det avtar i en tett samling av energinivåer.

Hva dette betyr er at atomet er sterkt ionisert, og # "H" # kan enkelt dannes # "H" ^ (+) #. Dette er bra, fordi det danner grunnlaget for syrebasisk kjemi.