Hvis du prøver å bestemme konvergensen til
Hvis
Hvis
Denne testen er veldig intuitiv, ettersom alt det er sagt er at hvis de større seriene kommer sammen, så konvergerer også de mindre seriene, og dersom de mindre serier avviker, divergerer de større seriene.
Ved hjelp av definisjonen av konvergens, hvordan beviser du at sekvensen {5+ (1 / n)} konvergerer fra n = 1 til uendelig?
La: a_n = 5 + 1 / n da for noen m, n i NN med n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) som n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n og som 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Gitt et ekte tall epsilon> 0, velg deretter et helt tall N> 1 / epsilon. For alle heltall m, n> N har vi: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon som viser Cauchys tilstand for konvergens av en sekvens.
Ved å bruke definisjonen av konvergens, hvordan beviser du at sekvensen {2 ^ -n} konvergerer fra n = 1 til uendelig?
Bruk egenskapene til den eksponensielle funksjonen til å bestemme N slik som | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon for hver m, n> N Definisjonen av konvergensstilstander som {a_n} konvergerer hvis: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Så, gitt epsilon> 0 ta N> log_2 (1 / epsilon) og m, n> N med m <n Som m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 så | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Nå som 2 ^ x er alltid positiv, (1-2) (mn)) <1, så 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) Og da
Hva er forskjellen mellom en uendelig sekvens og en uendelig serie?
En uendelig rekkefølge av tall er en ordnet liste over tall med et uendelig antall tall. En uendelig serie kan betraktes som summen av en uendelig sekvens.