To tall varierer med 3. Summen av gjengjeldene er syv tiendedeler. Hvordan finner du tallene?

Svar:

Det er to løsninger på et problem:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Forklaring:

Dette er et typisk problem som kan løses ved hjelp av et system med to likninger med to ukjente variabler.

La den første ukjente variabelen være # X # og den andre # Y #.

Forskjellen mellom dem er #3#, som resulterer i ligningen:

(1) # x-y = 3 #

Deres gjensidige er # 1 / x # og # 1 / y #, summen av som er #7/10#, som resulterer i ligningen:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

For øvrig krever eksistensen av gjengjeldelser begrensningene:

# ganger! = 0 # og #Y! = 0 #.

For å løse dette systemet, la oss bruke metoden for substitusjon.

Fra den første ligningen kan vi uttrykke # X # i form av # Y # og erstatte den andre ligningen.

Fra ligning (1) kan vi utlede:

(3) #x = y + 3 #

Sett det inn i ligning (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

Forresten krever dette en annen begrensning:

# Y + 3! = 0 #, det er #Y = - 3 #.

Bruke fellesnevner # 10y (y + 3) # og vurderer bare tellere, forvandler vi likning (4) til:

# 10 y + 10 (y + 3) = 7y (y + 3) #

Dette er en kvadratisk ligning som kan omskrives som:

# 20y + 30 = 7y ^ 2 + 21y # eller

# 7y ^ 2 + y-30 = 0 #

To løsninger på denne ligningen er:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

eller

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Så vi har to løsninger for # Y #:

# Y_1 = 2 # og # Y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Tilsvarende bruker # X = y + 3 #, konkluderer vi at det er to løsninger på et system:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

I begge tilfeller # X # er større enn # Y # av #3#, så den første tilstanden til et problem er fornøyd.

La oss sjekke den andre tilstanden:

(a) for en løsning # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - sjekket

(b) for en løsning # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - sjekket

Begge løsningene er riktige.