Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domenet med definisjon av:

#f (x) = 2x ^ 2lnx #

er intervallet #x i (0, + oo) #.

Vurder den første og andre derivaten av funksjonen:

# (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) #

# (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx #

De kritiske punktene er løsningen på:

#f '(x) = 0 #

# 2x (1 + 2lnx) = 0 #

og som #x> 0 #:

# 1 + 2lnx = 0 #

#lnx = -1 / 2 #

#x = 1 / sqrt (e) #

På dette punktet:

#f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 #

så det kritiske punktet er et lokalt minimum.

Sadelpunktene er løsningen på:

#f '' (x) = 0 #

# 6 + lnx = 0 #

#lnx = -6 #

# x = 1 / e ^ 6 #

og som #f '' (x) # er monotone økende vi kan konkludere med det #f (x) # er konkav ned for #x <1 / e ^ 6 # og konkav opp for #x> 1 / e ^ 6 #

graf {2x ^ 2lnx -0,2943, 0,9557, -0,4625, 0,1625}