Hva er omkretsen av en vanlig ottekant med en radius med lengde 20?

Svar:

Det kommer an på:

Hvis den indre radius er #20#, så er omkretsen:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

Hvis den ytre radius er #20#, så er omkretsen:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

Forklaring:

Her omkranser den røde sirkelen den ytre radius og den grønne sirkelen den indre.

La # R # vær den ytre radiusen - det er radiusen til den røde sirkelen.

Deretter centrerte ottekantens hjørner på #(0, 0)# er på:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Lengden på en side er avstanden mellom # (r, 0) # og # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2 + (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Så den totale omkretsen er:

#color (rød) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Så hvis den ytre radius er #20#, så er omkretsen:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

#COLOR (hvit) () #

Den indre radius vil være # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Så #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Så er den totale omkretsen

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2)))

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = Farge (grønn) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Så hvis den indre radius er #20#, så er omkretsen:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#COLOR (hvit) () #

Hvor god en tilnærming til # Pi # gir dette oss?

Mens vi er her, hvilken tilnærming for # Pi # får vi ved å gjennomsnittlig indre og ytre radius?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… så ikke bra.

Å få så god en tilnærming som #355/113 ~~ 3.1415929#, brukte den kinesiske matematikeren Zu Chongzhi en #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) sidet polygon og tellerstenger.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi