Hva er lengden på stigen hvis en stige med lengde L bæres horisontalt rundt et hjørne fra en hall 3 meter bred i en hall 4 meter bred?

Vurder et linjesegment som kjører fra # (X, 0) # til # (0, y) # gjennom det indre hjørnet på #(4,3)#.

Minimums lengden på dette linjesegmentet er den maksimale lengden på stigen som kan manøvreres rundt dette hjørnet.

Anta at # X # er forbi #(4,0)# av noen skaleringsfaktor, # S #, av 4, så

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

se etter # (1 + r) # dukker opp senere som en verdi for å bli fakturert ut av noe.

Ved liknende trekanter kan vi se det

#y = 3 (1 + 1 / s) #

Ved Pythagorasetningen kan vi uttrykke kvadratet av lengden på linjesegmentet som en funksjon av # S #

L2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Normalt ville vi ta derivatet av L (s) for å finne minimumet, men i dette tilfellet er det lettere å ta derivatet av # L ^ 2 (s) #.

(Merk at hvis #L (s) # er et minimum som # S = s_0 #, deretter # L ^ 2 (s) # vil også være et minimum på # S = s_0 #.)

Tar den første avledet av # L ^ 2 (s) # og sette den til null, får vi:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2-2s) = 0 #

Multiplicere med # s ^ 3 # og deretter factoring ut # 2 (1 + s) #

tillater oss å løse for # S #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Plugging denne verdien tilbake i ligningen for # L ^ 2 (s) # og tar kvadratroten (jeg brukte et regneark), får vi

Maksimal stige lengde # = 9,87 fot # (Ca.)