Hvordan bruker du binomial-serien til å utvide sqrt (z ^ 2-1)?

Svar:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Forklaring:

Jeg vil gjerne ha en dobbeltsjekk fordi jeg som sjelekompetent kommer som en fysikkstudent # (1 + x) ^ n ~ ~ 1 + nx # for lite x så jeg er litt rusten. Binomial-serien er et spesialisert tilfelle av binomialteorien som sier det

# (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Med (n-k)

Det vi har er # (Z ^ 2-1) ^ (1/2) #, dette er ikke den riktige formen. For å rette opp dette, husk det # i ^ 2 = -1 # så vi har:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Dette er nå i riktig form med #x = -z ^ 2 #

Derfor vil utvidelsen være:

#i 1-1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #