Hvordan bruker du binomial-serien til å utvide sqrt (z ^ 2-1)?

Svar:

`sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + …`

Forklaring:

Jeg vil gjerne ha en dobbeltsjekk fordi jeg som sjelekompetent kommer som en fysikkstudent `(1 + x) ^ n ~ ~ 1 + nx` for lite x så jeg er litt rusten. Binomial-serien er et spesialisert tilfelle av binomialteorien som sier det

`(1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k`

Med (n-k)

Det vi har er `(Z ^ 2-1) ^ (1/2)`, dette er ikke den riktige formen. For å rette opp dette, husk det `i ^ 2 = -1` så vi har:

`(i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2)`

Dette er nå i riktig form med `x = -z ^ 2`

Derfor vil utvidelsen være:

`i 1-1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +…`

`i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + …`