Hvordan bruker du binomial-serien til å utvide sqrt (z ^ 2-1)?

Hvordan bruker du binomial-serien til å utvide sqrt (z ^ 2-1)?
Anonim

Svar:

sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + …

Forklaring:

Jeg vil gjerne ha en dobbeltsjekk fordi jeg som sjelekompetent kommer som en fysikkstudent (1 + x) ^ n ~ ~ 1 + nx for lite x så jeg er litt rusten. Binomial-serien er et spesialisert tilfelle av binomialteorien som sier det

(1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k

Med (n-k)

Det vi har er (Z ^ 2-1) ^ (1/2) , dette er ikke den riktige formen. For å rette opp dette, husk det i ^ 2 = -1 så vi har:

(i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2)

Dette er nå i riktig form med x = -z ^ 2

Derfor vil utvidelsen være:

i 1-1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +…

i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + …