Hvordan skiller du den følgende parametriske ligningen: x (t) = e ^ t / (t + t) ^ 2-t, y (t) = t-e ^ (t)

Svar:

# dx / dt = (e ^ t) / (4t ^ 2) - (e ^ t) / (2t ^ 3) - 1 #, # dy / dt = 1 - e ^ t #

Forklaring:

Fordi kurven er uttrykt i form av to funksjoner av # T # Vi kan finne svaret ved å skille hver funksjon individuelt med hensyn til # T #. Merk først at ligningen for #X (t) # kan forenkles til:

#x (t) = 1/4 e ^ t 1 / (t ^ 2) - t #

Samtidig som #Y (t) # kan stå som:

#y (t) = t - e ^ t #

Ser på #X (t) #, det er lett å se at anvendelsen av produktregelen gir et raskt svar. Samtidig som #Y (t) # er rett og slett standard differensiering av hvert begrep. Vi bruker også det faktum at # d / dx e ^ x = e ^ x #.

# dx / dt = (e ^ t) / (4t ^ 2) - (e ^ t) / (2t ^ 3) - 1 #

# dy / dt = 1 - e ^ t #

Hvordan skiller du den følgende parametriske ligningen: x (t) = t / (t-4), y (t) = 1 / (1-t ^ 2)?

Dy / dx = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2) ^ 2) = - t / 2 ((t-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2 dy / dx = (y '(t)) / (x' (t)) y (t) = 1 / (1-t ^ 2) y '(t) = ((1-t ^ 2) d / dt (1-t ^ 2) ^ 2 farge (hvit) (y '(t)) = (- (- 2t)) / (1-t ^ 2) ^ 2 farge (hvit) (y '(t)) = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 x (t) = t / (t-4) x' (t) = ( (T-4) d / dt [t] -td / dt [t-4]) / (t-4) ^ 2 farge (hvit) 4) ^ 2 farge (hvit) (x '(t)) = - 4 / (t-4) ^ 2 dy / dx = (2t) / (1-t ^ 2) 2 -: - 4 / -4) ^ 2 = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2xx- (t-4) ^ 2/4 = (- 2t (t-4) ^ 2) / (4 (1-t ^ 2 ) ^ 2) = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2) ^ 2) = - t / 2 ((t-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2

Hva er den parametriske ligningen til en ellipse?

Her er et eksempel ... Du kan ha (nsin (t), mcos (t)) når n! = M og n og m ikke er lik 1. Dette er i hovedsak fordi: => x = nsin (t) => x ^ 2 = n ^ 2sin ^ 2 (t) => x ^ 2 / n ^ 2 = sin ^ 2 (t) => y = mcos (t) => y ^ 2 / m ^ 2 = cos ^ 2 (t) => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) Ved å bruke det faktum at sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 x) = 1 ... => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = 1 Dette er egentlig en ellipse! Merk at hvis du vil ha en ellipse uten sirkel, må du sørge for at n! = M

Hvordan skiller du den følgende parametriske ligningen: x (t) = tlnt, y (t) = cost-tsin ^ 2t?

(df (t)) / dt = (ln (t) + 1, -sin (t) - sin ^ 2 (t) - 2tsin (t) cos (t)) Differensiering av en parametrisk ligning er like enkelt som å differensiere hver enkelt ligning for sine komponenter. Hvis f (t) = (x (t), y (t)) så (df (t)) / dt = ((dx (t)) / dt, våre komponentderivater: (dx (t)) / dt = ln (t) + t / t = ln (t) + 1 (dy (t)) / dt = -in (t) - sin ^ 2 Derfor er den endelige parametriske kurvens derivater ganske enkelt en vektor av derivatene: (df (t)) / dt = ((dx (t)) / dt, (dy (t)) / dt) = (ln (t) + 1, -sin (t) - sin ^ 2 (t) - 2tsin (t) cos (t))