Er f (x) = e ^ x / x-x ^ 3-3 konkav eller konveks ved x = -1?

Svar:

# Convex #

Forklaring:

For å sjekke om funksjonen er konveks eller konkav, må vi finne#f '' (x) #

Hvis #COLOR (brun) (f '' (x)> 0) # deretter #COLOR (brun) (f (x)) # er #COLOR (brun) (konveks) #

Hvis #COLOR (brun) (f '' (x) <0) # deretter #COLOR (brun) (f (x)) # er #COLOR (brun) (konkav) #

først la oss finne #COLOR (blå) (f (x)) #

#f '(x) = ((e ^ x) / x)' - (x ^ 3) '- (3)' #

#f '(x) = (xe ^ xe ^ x) / x ^ 2-3 x ^ 2-0 #

#COLOR (blå) (f (x) = (xe ^ xe ^ x) / x ^ 2-3 x ^ 2) #

La oss nå finne #COLOR (red) (f '' (x)) #

(xe ^ x-e ^ x) 'x ^ 2- (x ^ 2)' (xe ^ x-e ^ x)) / (x ^ 2) ^ 2-6x #

#f '' (x) = ((e ^ x + xe ^ xe ^ x) x ^ 2-2x (xe ^ xe ^ x)) / x ^ 4-6x #

#f '' (x) = (x ^ 3E ^ x-2x ^ 2e ^ x-2xe ^ x) / x ^ 4-6x #

La oss forenkle fraksjonen ved # X #

#COLOR (rød) (f '' (x) = (x ^ 2e ^ x-2xe ^ x-2e ^ x) / x ^ 3-6x) #

La oss nå beregne #COLOR (brun) (f '' (- 1) #

#f '' (- 1) = ((- 1) ^ 2e ^ (- 1) -2 (1) e ^ (- 1) -2e ^ (- 1)) / (- 1) ^ 3-6 (-1)#

#f '' (- 1) = (e ^ (- 1) + 2e ^ (- 1) -2e ^ (- 1)) / (- 1) + 6 #

#COLOR (brun) (f '' (- 1) = - e ^ (- 1) 6) #

#COLOR (brun) (f '' (- 1)> 0 #

Så,#f '' (x)> 0 # på # x = -1 #

Derfor,#f (x) # er covex på # x = -1 #

graf {e ^ x / x - x ^ 3 -3 -20, 20, -20, 20}