Du legger inn $ 200 i en sparekonto. For hvert år etter planlegger du å deponere 15% mer enn året før. Om hvor mye penger vil du ha deponert i alt etter 20 år?

Svar:

# $ farge (hvit) (l) 20488.72 #

Forklaring:

Beløper den aktuelle personen innskudd hvert år

• # $ farge (hvit) (l) 200 # I det første # 1 "st" # år,
• # (1 + 15%) xx $ farge (hvit) (l) 200 # i den andre # 2 "nd" # år,
• # (1 + 15%) ^ 2 xx $ farge (hvit) (l) 200 # i den tredje # 3 "rd" # år,
• #cdot cdot cdot #
• # (1 + 15%) ^ 19 xx $ farge (hvit) (l) 200 # i den tyvende # 20 "th" # år,

danner en geometrisk sekvens.

En generell formel gir summen av den første #N "th" # Vilkår for en geometrisk sekvens av felles forhold # R # og første sikt # A_1 #

#sum_ (i = 1) ^ (n) r ^ (i-1) xx a_1 = a_1xx (1-r ^ n) / (1-r)

Den geometriske sekvensen i dette spørsmålet har

#r = 1 + 15% = 1,15 #

som vanlig forhold og

# a_1 = $ farge (hvit) (l) 200 #

som første term, som tilsvarer innskuddet i det aller første året.

Spørsmålet er å spørre om summen av de første tyvende begrepene i denne sekvensen, som antyder # N = 20 #; substituerende # N #, # R #, og # A_1 # med sine respektive verdier og evaluering av summasjons gir

(1) 200 = $ farge (hvit) (l) 200 xx (1-1,15 ^ 20) / (l- 1,15) = $ farge (hvit) (l) 20488.72 #

(avrundet til to desimaler)

Derfor ville personen ha deponert # $ farge (hvit) (l) 20488.72 # totalt i de tjue årene.