Halveringstiden for kobolt 60 er 5 år. Hvordan får du en eksponentiell henfallsmodell for kobolt 60 i form Q (t) = Q0e ^ -kt?

Svar:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Forklaring:

Vi setter opp en differensialekvasjon. Vi vet at endringen av kobolt er proporsjonal med mengden kobolt til stede. Vi vet også at det er en forfallsmodell, så det vil være et negativt tegn:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Dette er en fin, enkel og separat diff eq:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# innebærer ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Øk hver side til eksponensialer:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Nå som vi kjenner generell form, må vi finne ut hva # K # er.

La halveringstid betegnes av # Tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#therefore 1/2 = e ^ (- ktau) #

Ta naturlige logger på begge sider:

#ln (1/2) = -ktau #

# k = - (ln (1/2)) / tau #

For ryddighet, skriv om #ln (1/2) = -ln (2) #

#therefore k = ln (2) / tau #

# k = ln (2) / (5) yr ^ (- 1) #

#forefore Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #