Hvordan finner du grensen for (ln x) ^ (1 / x) når x nærmer seg uendelig?

Svar:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Forklaring:

Vi starter med et ganske vanlig knep når vi arbeider med variable eksponenter. Vi kan ta den naturlige loggen til noe og deretter heve den som eksponenten til eksponentiell funksjon uten å endre verdien, da disse er inverse operasjoner - men det tillater oss å bruke reglene for logger på en fordelaktig måte.

(ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Bruke eksponentenregelen for logger:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) # #

Legg merke til at det er eksponenten som varierer som # Xrarroo # slik at vi kan fokusere på det og flytte den eksponensielle funksjonen utenfor:

# = Exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Hvis du ser på oppførselen til den naturlige loggfunksjonen, vil du legge merke til at når x har en tendens til uendelig, har verdien av funksjonen også en tendens til uendelighet, om enn veldig sakte. Når vi tar #ln (ln (x)) # Vi har en variabel i loggfunksjonen som har en tendens til å være uendelig veldig sakte, noe som betyr at vi har en overordnet funksjon som har en tendens til å være uendelig, ekstremt sakte. Grafen nedenfor gjelder kun opp til # X = 1000 # men det demonstrerer ekstremt langsom vekst av #ln (ln (x)) # selv i forhold til den langsomme veksten av #ln (x) #.

Fra denne oppførselen kan vi avlede det # X # vil utvise mye raskere asymptotisk vekst og at eksponentenes grense derfor vil være null. #color (blå) ("Dette betyr at samlet grense = 1.") # #

Vi kan også takle dette punktet med L'hopitals regel. Vi trenger grensen til å være i ubestemt form, dvs. # 0/0 eller oo / oo # så vi kontrollerer at dette er tilfelle:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Dette er faktisk slik at grensen blir:

# = Exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Å skille mellom #y = ln (ln (x)) # gjenkjenne at vi har #Y (u (x)) # og bruk kjederegelen

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) innebærer (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) betyr (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Derivat av # X # er #1#. Grensen blir:

# = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))))

Vi har adressert at begge funksjonene på nevnen har en tendens til uendelig, slik vi har

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #