Hva er integralet av int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

Svar:

# 1/2 -lN (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #

Forklaring:

Først erstatter vi:

# U = e ^ (2x) 1; e ^ (2x) = u-1 #

# (Du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / (2e ^ (2x)) #

#intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du #

Utfør en sekundær substitusjon:

# V ^ 2 = u, v = sqrt (u) #

# 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv #

# 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = INTV ^ 2 / (v ^ 2-1) dv = INT1 + 1 / (v ^ 2-1) dv #

Split ved hjelp av partielle fraksjoner:

# 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (V + 1) + B / (v-1) #

# 1 = A (v-1) + B (v + 1) #

# V = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = halvdel #

# V = -1 #:

# 1 = 2a #, # A = -1/2 #

Nå har vi:

# -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) #

# INT1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) dv = int1-1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) dv = 1/2 lN (abs (v + 1)) + ln (abs (v-1)) + v + C #

Bytter inn igjen # V = sqrt (u) #:

# 1/2 -lN (abs (sqrt (u) 1)) + ln (abs (sqrt (u) -1)) + sqrt (u) + C #

Bytter inn igjen # U = 1 + e ^ (2x) #

# 1/2 -lN (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #

Hva er integralet av int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Vårt store problem i dette integralet er roten, så vi vil bli kvitt den. Vi kan gjøre dette ved å introdusere en substitusjon u = sqrt (2x-1). Derivatet er da (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Så vi deler gjennom (og husk at dividere av en gjensidig er den samme som å multiplisere med bare nevner) for å integrere med hensyn til deg: int x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / avbryt (sqrt (2x-1)) avbryt (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Nå er alt vi trenger å gjøre, uttrykk x ^ 2 n&

Hva er integralet av int (3x + 1) / (2x ^ 2-6x +5)) dx?

Se svaret nedenfor:

Hva er integralet av int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Vi kan bruke substitusjon for å fjerne cos (x). Så, la oss bruke synd (x) som vår kilde. u = sin (x) Hvilket betyr at vi vil få, (du) / (dx) = cos (x) Finne dx vil gi, dx = 1 / cos (x) * du Nå erstatter det opprinnelige integralet med substitusjonen, Vi kan avbryte cos (x) her, int_ u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C Nå settes inn for deg, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C