Hva er integralet av int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Svar:

(2x-1) ^ (3x) (2x-1) / dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Forklaring:

Vårt store problem i dette integralet er roten, så vi vil bli kvitt det. Vi kan gjøre dette ved å introdusere en substitusjon # U = sqrt (2x-1) #. Derivatet er da

# (Du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Så vi deler gjennom (og husk at deling av en gjensidig er den samme som å multiplisere med bare nevnen) for å integrere med hensyn til # U #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / avbryt (sqrt (2x-1)) avbryt (sqrt (2x-1)) = int x ^ 2-1 du #

Nå er alt vi trenger å gjøre, uttrykke # X ^ 2 # i form av # U # (siden du ikke kan integrere # X # med respekt for # U #):

# U = sqrt (2x-1) #

# U ^ 2 = 2x-1 #

# U ^ 2 + 1 = 2 x #

# (U ^ 2 + 1) / 2 = x #

# X ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Vi kan plugge dette inn i vårt integral for å få:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Dette kan evalueres ved hjelp av revers power rule:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Gjenoppta for # U = sqrt (2x-1) #, vi får:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Hva er integralet av int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-lN (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Først erstatter vi: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = 2e ^ (2x)) Intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) Du = Intsqrt (u) / (2 (u-1)) Du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) andre substitusjon: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) (v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Nå har vi: -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) dv = int1-1 / ) + 1 / (2

Hvordan bestemmer du om det ukorrekte integralet konvergerer eller divergerer int 1 / [sqrt x] fra 0 til uendelig?

Integralet avviker. Vi kunne bruke sammenligningstesten for feil integraler, men i dette tilfellet er integralet så enkelt å vurdere at vi bare kan beregne det og se om verdien er begrenset. (0) = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) 2sqrtx) = oo Dette betyr at integralet avviker.

Hva er integralet av int (sec ^ 2x) / sqrt (4-sec ^ 2x) dx?

Svaret på dette spørsmålet = sin ^ (- 1) (tanx / sqrt3) For dette ta tanx = t Så sec ^ 2x dx = dt Også sec ^ 2x = 1 + tan ^ 2x Ved å sette disse verdiene i opprinnelig ligning får vi vite / (sqrt (3-t ^ 2)) = sin ^ (- 1) (t / sqrt3) = sin ^ (- 1) (tanx / sqrt3) Håper det hjelper!