Tallet 90 ^ 9 har 1900 forskjellige positive integrerte divisorer. Hvor mange av disse er firkanter av heltall?

Svar:

Wow - Jeg får svare på mitt eget spørsmål.

Forklaring:

Det viser seg at tilnærmingen er en kombinasjon av kombinatorikk og tallteori. Vi begynner med factoring #90^9# inn i sine primære faktorer:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Trikset her er å finne ut hvordan man finner firkanter av heltall, noe som er relativt enkelt. Firkanter av heltall kan genereres på mange måter fra denne faktoriseringen:

#5^9*3^18*2^9#

Vi kan se det #5^0#, for eksempel, er en firkant av et heltall og en divisor av #90^9#; like måte, #5^2#, #5^4#,#5^6#, og #5^8# alle møter også disse forholdene. Derfor har vi 5 mulige måter å konfigurere en divisor på #90^9# det er en firkant av et heltall, med 5s alene.

Samme resonnement gjelder for #3^18# og #2^9#. Hver likestrøm av disse hovedfaktorene - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 totalt) for 3 og 0, 2, 4, 6, 8 (5 totalt) for 2 - er et perfekt torg som er en divisor av #90^9#. Dessuten, hvilken som helst kombinasjon av disse førsteklasses divisors som har like krefter tilfredsstiller også forholdene. For eksempel, #(2^2*5^2)^2# er en firkant av et heltall, som det er #(3^8*2^4)^2#; og begge, består av divisors of #90^9#, er også deltakere av #90^9#.

Dermed er ønsket antall kvadrater av heltall som er divisorer av #90^9# er gitt av #5*10*5#, som er multiplikasjonen av mulige valg for hver primfaktor (5 for 5, 10 for 3 og 5 for 2). Dette er lik #250#, som er det riktige svaret.