En superhelte starter seg fra toppen av en bygning med en hastighet på 7,3 m / s i en vinkel på 25 over horisonten. Hvis bygningen er 17 m høy, hvor langt skal han reise horisontalt før han når bakken? Hva er hans siste hastighet?

Et diagram av dette vil se slik ut:

Det jeg ville gjøre er å liste hva jeg vet. Vi vil ta negativt som nede og igjen som positiv.

#h = "17 m" #

#vecv_i = "7.3 m / s" #

#veca_x = 0 #

#vecg = - "9,8 m / s" ^ 2 #

#Deltavecy =? #

#Deltavecx =? #

#vecv_f =? #

DEL ONE: ASCENSION

Det jeg ville gjøre er å finne hvor toppunkt er å bestemme # Deltavecy #, og deretter jobbe i et fritt fall scenario. Merk at ved toppunktet, #vecv_f = 0 # fordi personen endrer retning på grunn av tyngdekraftenes dominans ved å redusere den vertikale komponenten av hastigheten gjennom null og inn i negativene.

En ligning som involverer # Vecv_i #, # Vecv_f #, og # Vecg # er:

# mathbf (vecv_ (fy) ^ 2 = vecv_ (iy) ^ 2 + 2vecgDeltavecy) #

hvor vi sier #vecv_ (fy) = 0 # ved toppunktet.

Siden #vecv_ (fy) ^ 2 <vecv_ (iy) ^ 2 # og #Deltavecy> 0 #, # Deltavecv_y ^ 2 <0 # og denne ligningen spør oss faktisk å bruke #g <0 #.

For en del 1:

#color (blå) (Deltavecy) = (vecv_ (fy) ^ 2 - v_ (iy) ^ 2 / / 2g) = farge (blå) ((- v_ (iy) ^ 2 / / 2g))> #

hvor #vecv_ (fy) = 0 # er den endelige hastigheten for en del 1.

Husk at en vertikal hastighet har a # Sintheta # komponent (trekk en høyre trekant og få #sintheta = (vecv_ (y)) / (vecv) # forhold).

#color (grønn) (Deltavecy = (-v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))> 0 #

Nå som vi har # Deltavecy # og det vet vi # Vecv_y # har endret retning, kan vi anta fritt fall forekommer.

De total høyde av høsten er #color (grønn) (h + Deltavecy) #. Det er noe vi kan bruke for en del 2.

jeg får # Deltavecy # å være om # "0.485 m" # og #h + Deltavecy # å være om #color (blå) ("17.485 m") #.

DEL TO: DEN FRIE FALLEN

Vi kan igjen behandle # Y # retning uavhengig av # X # retning siden #veca_x = 0 #.

På toppet, husk det #color (grønn) (vecv_ (iy) = 0) #, som er innledende hastighet for del 2, og var den endelige hastigheten delvis 1. Nå kan vi bruke en annen 2D kinematikkligning. Husk at total høyde ikke er # Deltavecy # her!

# mathbf (h + Deltavecy = 1 / 2g t_ "freefall" ^ 2) + avbryt (v_ (iy) t_ "freefall") ^ (0) #

Nå kan vi bare løse for tiden det tar å slå bakken fra toppunktet.

#color (grønn) (t_ "freefall") = sqrt ((2 (h + Deltavecy)) / g) #

# = farge (grønn) (sqrt ((2 (h - (v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g)) / g)) #

og selvfølgelig er tiden åpenbart ikke noe negativ, så vi kan ignorere det negative svaret.

… Og vi kommer dit.

DEL TRE: LØSNING FOR HORISONTAL AVSTILLING

Vi kan gjenbruke den samme kinematikkligningen som den som tidligere ble undersøkt. En av tingene vi har gått på er # DeltaX #, som er:

#color (blå) (Deltax) = avbryt (1 / 2a_xt ^ 2) ^ (0) + v_ (ix) t #

Og som før bruker du en trigrelasjon for å få # X # komponent (# Costheta #).

# = farge (blå) (vecv_icostheta * t_ "overall")> 0 #

hvor #t_ "overall" # er ikke det vi fikk delvis 2, men vil inkludere tiden #t_ "sprang" # går fra bygningen til toppunktet av flyet og #t_ "fritt fall" # som vi kjøpte tidligere.

#Deltay = 1 / 2vecg t_ "sprang" ^ 2 + vecv_ (iy) t_ "sprang" # #

Med #Deltay ~~ "0.485 m" #. Når vi løser dette ved hjelp av kvadratisk ligning, ville det gi:

#t_ "leap" = (- (vecv_ (iy)) + sqrt ((vecv_ (iy)) ^ 2 - 4 (1 / 2vecg) (- | Deltay |))) / (2 * 1 / 2vecg) #

# ~~ "0.3145 s" #

Ta med tiden som er kjøpt for apex til bakken, og du bør få om #color (blå) ("2.20 s") # for hele flyturen. La oss ringe dette #t_ "overall" #.

#t_ "overall" = t_ "sprang" + t_ "freefall" #

Ved hjelp av #t_ "overall" #, Jeg får #color (blå) (Deltavecx ~~ "14.58 m") #.

DEL VI: LØSNING FOR DET ENDELIGE VELOCITY

Nå skal dette kreve litt mer tenkning. Vi vet det #h = "17 m" # og vi har # DeltaX #. Derfor kan vi bestemme vinkelen med hensyn til den horisontale bakken.

#tantheta '= (h + Deltavecy) / (Deltavecx) #

#color (blå) (theta '= arctan ((h + Deltavecy) / (Deltavecx)))) #

Legg merke til hvordan vi brukte #h + Deltavecy # siden vi faktisk hoppet oppover før vi falt, og vi hoppet ikke rett fram. Så vinkelen # Theta # involverer # DeltaX # og total høyde, og vi vil ta omfanget av total høyde for dette.

Og til slutt siden # Vecv_x # har ikke endret seg hele tiden (vi ignorerer luftmotstanden her):

#color (grønn) (vecv_ (fx)) = vecv_ (ix) = vecv_fcostheta '= farge (grønn) (vecv_icostheta')> 0 #

hvor # Vecv_i # er starthastigheten fra del 1. Nå trenger vi bare å vite hva #vecv_ (fy) # er delvis 2. Gå tilbake til begynnelsen for å se:

#vecv_ (fy) ^ 2 = avbryte (vecv_ (iy) ^ 2) ^ (0) + 2vecg * (h + Deltavecy) #

Derfor blir dette:

#color (grønn) (vecv_ (fy) = -sqrt (2vecg * (h + Deltavecy))) <0 #

Husk at vi definerte ned som negativ, så # h + Deltay <0 #.

Ok, vi er nesten der. Vi blir bedt om # Vecv_f #. Derfor slutter vi ved å bruke Pythagorasetning.

# vecv_f ^ 2 = vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2 #

#color (blå) (vecv_f = -sqrt (vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2)) <0 #

Alt i alt, #color (blå) (| vecv_f | ~~ "19.66 m / s") #.

Og det ville være alt av det! Sjekk svaret ditt og fortell meg om det fungerte.

Her vel. av projeksjon, # V = 7.3ms ^ -1 #

vinkelen. av projeksjon,# A = 25 ^ 0 # over horisontal

Den oppadrettede vertikale komponenten av fremspring,# vsinalpha = 7.3 * sin25 ^ 0 = 7.3 * 0.42ms ^ -1 ~ ~ 3.07ms ^ -1 #

Bygningen er 17m høy, nettolottens vertikale forskyvning når bakken vil være # H = -17m # som superhelten projiserte seg oppover (tatt positivt her)

Hvis flytidspunktet, dvs. når det gjelder å komme til bakken, er tatt til å være T

Deretter bruker du formelen #h = vsinalpha * t-1/2 * g * t ^ 2 # vi kan ha

# => - 17 = 3,07 * T-0.5 * 9.8 * T ^ 2 #

# => 4.9T ^ 2-3.07T-17 = 0 #

dele begge sider med 4,9 får vi

# => T ^ 2-0.63T-3,47 = 0 #

# => T = (0.63 + SQRT ((- 0,63) ^ 2-4 * 1 * (- 3,47))) / 2 ~~ 2.20s #

(negativ tid kasseres)

Så Heroes Horisontale forskyvning før de kommer til grunn vil være

# = T * vcosalpha = 2,20 ** 7.3cos (25 ^ 0) ~~ 14.56m #

Beregning av hastighet på tidspunktet for å nå bakken

Vertikal komponenthastighet på tidspunktet for å nå bakken

# v_y ^ 2 = u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9.8) xx (-17) #

Igjen horisontal komponent av hastigheten på tidspunktet for å nå bakken

# => V_x = ucosalpha #

Så resulterende hastighet på tidspunktet for å nå bakken

# V_r = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) = sqrt (u ^ 2sin ^ 2alfa + u ^ 2cos ^ 2alfa-2xx9.8xx17) #

# => V_r = sqrt (u ^ 2 + 2xx9.8xx17) #

# => V_r = sqrt (7,3 ^ 2 + 2xx9.8xx17) = 19,66 "m / s" #

Retning av # V_r # med det horisontale# = Tan ^ -1 (v_y / v_x) #

# = Tan ^ -1 (sqrt (u ^ 2sin ^ 2alfa + 2xx (-9,8) xx (-17)) / (ucosalpha)) #

# = tan ^ -1 (sqrt (7.3 ^ 2sin ^ 2 25 + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (7.3cos25)) #

# = 70.3 ^ @ -> "nedover med det horisontale" #

Er det nyttig?