Hva er lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) når x nærmer 1 fra høyre side?

# 1 / e #

# X ^ (1 / (1-x)) #:

graf {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

Vel, dette ville være mye lettere hvis vi bare tok # Ln # fra begge sider. Siden # X ^ (1 / (1-x)) # er kontinuerlig i det åpne intervallet til høyre for #1#, kan vi si det:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x)))

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Siden #ln (1) = 0 # og #(1 - 1) = 0#, dette er av skjemaet #0/0# og L'Hopitals regel gjelder:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

Og selvfølgelig, # 1 / x # er kontinuerlig fra hver side av #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Som et resultat er den opprinnelige grensen:

#color (blå) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ 1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = farge (blå) (1 / e) #