La f: Rise definert fra R til R. finn løsningen av f (x) = f ^ -1 (x)?

Svar:

# f (x) = x #

Forklaring:

Vi søker en funksjon #f: RR rarr RR # slik løsning #f (x) = f ^ (- 1) (x) #

Det er at vi søker en funksjon som er sin egen inverse. En åpenbar slik funksjon er den trivielle løsningen:

# f (x) = x #

En grundigere analyse av problemet er imidlertid av betydelig kompleksitet som utforsket av Ng Wee Leng og Ho Foo Him som publisert i Journal of the Association of Mathematics Teachers.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Svar:

Sjekk nedenfor.

Forklaring:

Poengene som er felles mellom # C_f # og #C_ (f ^ (- 1)) # hvis de eksisterer, er de ikke alltid i bisectoren # Y = x #. Her er et eksempel på en slik funksjon: #f (x) = 1-x ^ 2 # #COLOR (hvit) (a) #, # X ##i## 0, + oo) #

graf {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7,02, 7,03, -5,026, 1,994}

De er imidlertid bare i bisectoren og bare hvis # F # er # # økende.

Hvis # F # er strengt økende da #f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># #f (x) = x #

Hvis # F # er ikke strengt økende De felles punktene er funnet ved å løse ligningssystemet

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""):} # #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) ""):} # #<=>…#

Svar:

#f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> X = 1 #

Forklaring:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # #COLOR (hvit) (aa) #, # X ##i## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #COLOR (hvit) (aa) #, # AA ## X ##i## RR #

så # F # er # # i # RR #. Som en strengt monoton funksjon er det også "#1-1#"og som en til en funksjon har den en invers.

Vi må løse ligningen #f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (F) f (x) = x # #<=>#

# X ^ 3 + x-1 = x # #<=># # X ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (X-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (X ^ 2 + x + 1> 0) #

# X = 1 #