Hva er kvadratroten på 89?

Svar:

Kvadratroten av #89# er et tall som når kvadratisk gir #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Forklaring:

Siden #89# er førsteklasses, #sqrt (89) # kan ikke forenkles.

Du kan tilnærme det ved hjelp av en Newton Raphson-metode.

Jeg liker å reformulere det litt som følger:

La #n = 89 # vær tallet du vil ha kvadratroten til.

Velge # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # så det # P_0 / q_0 # er en rimelig rasjonell tilnærming. Jeg valgte disse verdiene siden #89# er omtrent halvveis mellom #9^2 = 81# og #10^2 = 100#.

Iterate ved hjelp av formlene:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Dette vil gi en bedre rasjonell tilnærming.

Så:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Så hvis vi stoppet her, ville vi få en tilnærming:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

La oss gå et skritt videre:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Så vi får en tilnærming:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Denne Newton Raphson-metoden konvergerer raskt.

#COLOR (hvit) () #

Egentlig en ganske god enkel tilnærming til #sqrt (89) # er #500/53#, siden #500^2 = 250000# og #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Hvis vi bruker et iterasjonstrinn til dette, får vi en bedre tilnærming:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#COLOR (hvit) () #

fotnote

Alle firkantede røtter med positive heltall har gjentatt fortsatte fraksjon utvidelser, som du også kan bruke til å gi rasjonelle tilnærminger.

Men i tilfelle av #sqrt (89) # Den fortsatte fraksjonen ekspansjonen er litt rotete, så ikke så hyggelig å jobbe med:

#sqrt (89) = 9; bar (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / + …))))))) #

Tilnærmingen #500/53# over er #9; 2, 3, 3, 2#