Vurder 3 like sirkler med radius r innenfor en gitt radius R, hver for å berøre de andre to og den angitte sirkelen som vist i figuren, så er området med skyggelagt område lik?

Vi kan danne et uttrykk for området i den skyggefulle regionen slik:

#A_ "skygget" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "senter" #

hvor #A_ "center" # er området av den lille delen mellom de tre mindre sirkler.

For å finne området av dette kan vi tegne en trekant ved å koble sentrene til de tre mindre hvite sirkler. Siden hver sirkel har en radius av # R #, lengden på hver side av trekanten er # 2r # og trekanten er likeverdig så har vinkler av # 60 ^ o # Hver.

Vi kan således si at vinkelen til den sentrale regionen er området i denne trekanten minus de tre sektorene i sirkelen. Høyden på trekanten er ganske enkelt #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, så området av trekanten er # 1/2 * base * høyde = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Arealet av de tre sirkelsegmentene i denne trekanten er i hovedsak det samme området som halvparten av en av kretsene (på grunn av å ha vinkler av # 60 ^ o # hver, eller #1/6# en sirkel, slik at vi kan utlede det totale arealet av disse sektorene å være # 1/2 pir ^ 2 #.

Til slutt kan vi trene området i sentrumsregionen for å være #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Dermed går tilbake til vårt opprinnelige uttrykk, området av den skyggefulle regionen er

# Pir ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Svar:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Forklaring:

La oss gi de hvite sirkler en radius av # R = 1 #. Sentrene danner en like sidet trekant av siden #2#. Hver median / høyde er #sqrt {3} # så avstanden fra et toppunkt til sentroid er # 2/3 sqrt {3} #.

Centroid er sentrum av den store sirkelen, så det er avstanden mellom sentrum av den store sirkelen og sentrum av den lille sirkelen. Vi legger til en liten radius av # R = 1 # å få

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Området vi søker er området av den store sirkelen mindre den likesidige trekant og de resterende #5/6# av hver liten sirkel.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Vi skalere ved # R ^ 2 # generelt.