Hva er orthocenteret til en trekant med hjørner på (9, 7), (4, 4) og (8, 6) #?

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Vi vil ringe på hjørnene # A = (4,4) #, # B = (9,7) # og # C = (8,6) #.

Vi må finne to likninger som er vinkelrette på to sider og passere gjennom to av hjørnene. Vi finner hellingen til to av sidene og dermed hellingen til de to av de vinkelrette linjene.

Helling av AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Helling vinkelrett på dette:

#-5/3#

Dette må passere gjennom toppunktet C, så ligningens linje er:

# Y-6 = -5 / 3 (X-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Høyden til BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Helling vinkelrett på dette:

#-1#

Dette må passere gjennom toppunkt A, så ligningens linje er:

# Y-4 = - (x-4) #, # Y = -x + 8 # 2

Hvor 1 og 2 krysser er orthocenteret.

Løse 1 og 2 samtidig:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5 x 58 = +> x = 34/2 = 17 #

Bruke 2:

# Y = -17 + 8 = -9 #

orthocenter:

#(17, -9)#

Fordi trekanten er stump, er orthocenteret utenfor trekanten. Dette kan sees hvis du strekker høyde linjene til de krysser.

Svar:

orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

omskrevet

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Forklaring:

orthocenter

gitt # p_1, p_2, p_3 # og

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # slik at

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Disse vektorer er lett oppnådd, for eksempel

# p_1 = (x_1, y_1) # og # p_2 = (x_2, y_2) # og så

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Nå har vi

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Disse tre linjene krysser på trekantens orthocenter

velge # L_1, L_2 # vi har

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # eller

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

gi ligningene

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Nå løser for # Lambda_1, lambda_2 # vi har

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

og så

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

omskrevet

Omkretsligningen er gitt av

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

nå hvis # {p_1, p_2, p_3} i C # vi har

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):}

subtraherer den første fra den andre

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

trekke den første fra den tredje

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

gi systemet med ligninger

(x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Nå erstatter de givne verdiene vi kommer til

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Vedlagt et plott som viser orthocenteret (rødt) og circumcentercenteret (blått).