Et par rettferdige sekssidige terninger kastes åtte ganger. Finn sannsynligheten for at en poengsum større enn 7 er rangert ikke mer enn fem ganger?

Svar:

#~=0.9391#

Forklaring:

Før vi går inn i spørsmålet selv, la oss snakke om metoden for å løse det.

La oss for eksempel si at jeg vil redegjøre for alle de mulige resultatene fra å flippe en rettferdig mynt tre ganger. Jeg kan få HHH, TTT, TTH og HHT.

Sannsynligheten for H er #1/2# og sannsynligheten for T er også #1/2#.

For HHH og for TTT, det er # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # Hver.

For TTH og HHT er det også # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # hver, men siden det er 3 måter jeg kan få hvert resultat, ender det med å bli # 3xx1 / 8 = 3/8 # Hver.

Når jeg oppsummerer disse resultatene, får jeg det #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - som betyr at jeg nå har alle mulige resultatene av myntflipen.

Legg merke til at hvis jeg setter # H # å være # P # og derfor har # T # være # ~ P #, og merk at vi har en linje fra Pascals triangel #(1,3,3,1)#, vi har satt opp en form for:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

og så i dette eksempelet får vi:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Nå kan vi gjøre problemet.

Vi får antall ruller som 8, så # N = 8 #.

# P # er summen større enn 7. For å finne sannsynligheten for å få en sum større enn 7, la oss se på mulige ruller:

# ((Farge (hvit) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Av 36 muligheter gir 15 ruller en sum større enn 36, noe som gir en sannsynlighet for #15/36=5/12#.

Med # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Vi kan skrive ut hele summen av muligheter - fra å få alle 8 ruller til å være en sum større enn 7 hele veien for å få alle 8 ruller til å være sum på 7 eller mindre:

# = C_ (8.0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

men vi er interessert i å oppsummere bare de vilkårene som har våre større enn 7 sum som skjer 5 ganger eller mindre:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Svar:

#0.93906#

Forklaring:

# "Så P utfall> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "det forekommer k ganger på 8 kast" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

# "(binomial distribusjon)" #

# "med" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(kombinasjoner)" #

# "Så," #

#P "det forekommer maksimalt 5 ganger på 8 kast" #

# = 1 - P "det forekommer 6, 7 eller 8 ganger på 8 kast" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#