Vis at alle polygonale sekvenser generert av seriens aritmetiske sekvens med vanlig forskjell d, d i ZZ er polygonale sekvenser som kan genereres av a_n = a ^ 2 + bn + c?

Svar:

# a_n = P_n ^ (d + 2) = a ^ 2 + b ^ n + c #

med # A = d / 2; b = (2-d) / 2; c = 0 #

# P_n ^ (d + 2) # er en polygonal serie rang, # r = d + 2 #

eksempel gitt en aritmetisk sekvens hoppe teller av # D = 3 #

du vil ha en #COLOR (red) (femkantede) # sekvens:

# P_n ^ farge (rød) 5 = 3 / 2n ^ 2-1 / 2n # gi # P_n ^ 5 = {1, farge (rød) 5, 12, 22,35,51, cdots} #

En polygonal sekvens er konstruert ved å ta # N-te # summen av en aritmetisk sekvens. I beregning vil dette være en integrering.

Så nøkkelhypotesen er her:

Siden den aritmetiske sekvensen er lineær (tenk lineær ligning), vil integrering av den lineære sekvens resultere i en polynom sekvens av grad 2.

Nå for å vise dette tilfellet

Begynn med en naturlig sekvens (hopp over telling ved å starte med 1)

#a_n = {1, 2,3,4, cdots, n} #

finn den nte summen av #S_n = sum_i ^ (i = n) a_n #

# S_1 = 1; S_2 = 3, S_3 = 6, cdots #

#S_n = (a_1 + a_n) / 2 n; #

# A_n # er aritmetisk sekvens med

# a_n = a_1 + d (n-1); a_1 = 1; d = 1 #

#S_n = (1 + a_n) / 2 n = (1 + 1 + (n-1)) / 2n = n (n + 1) / 2 #

#S_n = P_n ^ 3 = {1, 3, 6, 10, cdots, (1 / 2n ^ 2 + 1 / 2n)} #

Så med d = 1 er sekvensen av skjemaet # P_n ^ 3 = a ^ 2 + bn + c #

med #a = 1/2; b = 1/2; c = 0 #

Nå generaliserer for en vilkårlig hoppeteller #COLOR (rød) d #, #color (rød) d i farge (blå) ZZ # og # a_1 = 1 #:

# P_n ^ (d + 2) = S_n = (a_1 + a_1 + farge (rød) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = (2 + farge (rød) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = farge (rød) d / 2n ^ 2 + (2-farge (rød) d) n / 2 #

Hvilket er en generell form # P_n ^ (d + 2) = a ^ 2 + bn + c #

med # A = farge (rød) d / 2; b = (2-farger (rød) d) / 2; c = 0 #