Hva er det største: 1000 ^ (1000) eller 1001 ^ (999)?

Hva er det største: 1000 ^ (1000) eller 1001 ^ (999)?
Anonim

Svar:

#1000^1000 > 1001^999#

Forklaring:

Vurderer ligningen

# 1000 ^ 1000 = 1001 ^ x #

hvis #x> 999 #

deretter

#1000^1000 > 1001^999#

ellers

#1000^1000 < 1001^999#

Bruk loggen transformasjon til begge sider.

# 1000 log 1000 = x log 1001 #

men

#log 1001 = log1000 + 1 / 1000xx1-1 / (2!) 1/1000 ^ 2xx1 ^ 2 + 2 / (3!) 1/1000 ^ 3xx1 ^ 3 + cdots + 1 / (n!) dx) log x) _ (x = 1000) 1 ^ n #.

Denne serien er alternativ og raskt konvergerende slik

# log1001 ca log1000 + 1/1000 #

Bytte inn

#x = 1000 log1000 / (log1000 + 1/1000) = 1000 (3000/3001) #

men #3000/3001 = 0.999667#

#x = 999.667> 999 # deretter

#1000^1000 > 1001^999#

Svar:

Her er en alternativ løsning ved hjelp av binomialteormen for å bevise:

#1001^999 < 1000^1000#

Forklaring:

Ved binomialteorien:

#(1+1/1000)^999 = 1/(0!) + 999/(1!)1/1000 + (999*998)/(2!)1/1000^2 + (999*998*997)/(3!) 1/1000^3 + … + (999!)/(999!) 1/1000^999#

# 1 / (0!) + 1 / (1!) + 1 / (2!) + 1 / (3!) + … = e ~ ~ 2.718 #

Så:

#1001^999 = (1001/1000 * 1000) ^ 999#

#color (hvit) (1001 ^ 999) = (1 + 1/1000) ^ 999 * 1000 ^ 999 #

#color (hvit) (1001 ^ 999) <e * 1000 ^ 999 <1000 * 1000 ^ 999 = 1000 ^ 1000 #

Svar:

#1000^1000 > 1001^999#

Forklaring:

# Bruk logg 1000 = logg 10 ^ 3 = 3 og logg 1001 = 3.0004340 …

Her er de to logaritmene

#log (1000 ^ 1000) = 1000 log1000 = (1000) (3) = 3000 # og

#log 1001 ^ 999 = (999) (3.0004340 …) = 2997.4 #

Da logg er en økende funksjon, #1000^1000 > 1001^999#.