Hvordan er trigonometrisk substitusjon forskjellig fra din substitusjon?

Svar:

Vanligvis brukes trig-substitusjon for integraler av skjemaet # X ^ 2 + a ^ 2 # eller #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, samtidig som # U #-substitusjon brukes når en funksjon og dens derivat vises i integralet.

Forklaring:

Jeg finner begge typer substitusjoner veldig fascinerende på grunn av begrunnelsen bak dem. Tenk først, trig-substitusjon. Dette stammer fra pythagorasetningen og de pythagoranske identitetene, trolig de to viktigste begrepene i trigonometri. Vi bruker dette når vi har noe som:

# X ^ 2 + a ^ 2 -> # hvor #en# er konstant

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # igjen antar #en# er konstant

Vi kan se at disse to ser forferdelig ut # A ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, som er Pythagorasetningen. Den relaterer de to sidene av en riktig trekant til trekantens hypotenuse. Hvis vi trekker dette ut, kan vi se det ja, # X ^ 2 + a ^ 2 # kan representeres med en trekant:

Bildet er veldig nyttig, fordi det forteller oss # Tantheta = x / a #, eller # Atantheta = x #; dette danner grunnlaget for trigtsubstitusjonen. Videre (og det er her det blir fantastisk), når du erstatter # x = tantheta # inn i # X ^ 2 + a ^ 2 #, du ender med en pythagoransk identitet, i dette tilfellet # Tan ^ 2teta + 1 = s ^ 2teta #. Du kan da gjøre noen forenkling for # Sek ^ 2teta # hvis du trenger det, og integralet er lett der ute. Det samme gjelder tilfellene # X ^ 2-a ^ 2 #, # A ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-en ^ 2) #, og #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Du kan bruke trig sub. for en god del problemer, men du kan bruke # U #-substitusjon uten tvil enda mer. Vi bruker denne teknikken når vi har noe lignende # Intlnx / XDX #. Hvis vi er observante, ser vi at vi har to funksjoner - # LNX # og # 1 / x #. Og hvis vi husker våre grunnleggende derivater, vet vi # D / dxlnx = 1 / x # til #X> 0 # (eller # D / dxlnabs (x) = 1 / x # til # ganger! = 0 #). Så ideen er å si la # U = lnx #; deretter # (Du) / dx = 1 / x # og # Du = dx / x #. Problemet, etter å ha gjort disse substitusjonene, forenkler til # Intudu # - en mye lettere integrert enn før.

Selv om disse to teknikkene kan være forskjellige, har de begge samme formål: å redusere en integrering til en enklere form slik at vi kan bruke grunnleggende teknikker. Jeg er sikker på at min forklaring ikke er tilstrekkelig til å inkludere alle spesifikke detaljer om disse substitusjonene, så jeg inviterer andre til å bidra.