Hva er orthocenteret til en trekant med hjørner på (4, 7), (8, 2) og (5, 6) #?

Svar:

Orthocenter koordinater #color (rød) (O (40, 34) #

Forklaring:

Helling av linjesegment BC # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3 #

Helling av #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

Høydata som passerer gjennom A og vinkelrett på BC

#y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Eqn (1)

Helling av linjesegment AC #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1 #

Hældningens helling BE vinkelrett på BC #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

Høydata som passerer gjennom B og vinkelrett på AC

#y - 2 = 1 * (x - 8) #

#y - x = -6 # Eqn (2)

Løsning av Eqns (1), (2) vi kommer til koordinatene til orthocenteret O

#x = 40, y = 34 #

Koordinater for orthocenter #O (40, 34) #

Verifisering:

Helling av #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

Ligning av høyde CF

#y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Eqn (3)

Orthocenter koordinater #O (40, 34) #

Svar:

orthocenter: #(40,34)#

Forklaring:

Jeg har utarbeidet det semi-generelle saken her. (Http://socratic.org/questions/what-is-the-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4 -og-2-8)

Konklusjonen er orthocenteret av trekanten med vertikaler # (A, b), # # (C, d) # og #(0,0)# er

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

La oss teste det ved å bruke det på denne trekanten og sammenligne resultatet med det andre svaret.

Først oversetter vi (5, 6) til opprinnelsen, og gir de to andre oversatte vertikaler:

# (A, b) = (4,7) - (5,6) = (- 1,1) #

# (c, d) = (8,2) - (5,6) = (3,4) #

Vi bruker formelen i det oversatte rommet:

# (x, y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {- 1 (-4) - 1 (3)} (-5, -4) = -7 (-5, -4) = (35,28) #

Nå oversetter vi tilbake for vårt resultat:

orthocenter: #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

Det matcher det andre svaret!