# Q.1 # Hvis # Alfa, beta # er røttene til ligningen # X ^ 2-2x + 3 = 0 # oppnå ligningen hvis røtter er # alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 5 alpha -2 # og # P ^ 3-beta ^ 2 + P + 5 #?
Svar
gitt ligning # X ^ 2-2x + 3 = 0 #
# => X = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #
La # alpha = 1 + sqrt2i og beta = 1-sqrt2i #
La nå
# gamma = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 #
# => gamma = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 3 alfa -1 + 2alfa-1 #
# => Y = (a-1) ^ 3 + a-1 + a-#
# => Y = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #
# => Y = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 #
Og la
# Delta = P ^ 3-beta ^ 2 + P + 5 #
# => S = P ^ 2 (P-1) + P + 5 #
# => S = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #
# => S = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #
# => S = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #
Så den kvadratiske ligningen har røtter #gamma og delta # er
# X ^ 2- (gamma + delta) x + gammadelta = 0 #
# => X ^ 2- (1 + 2) x + 1 * 2 = 0 #
# => X ^ 2-3 x + 2 = 0 #
# Q.2 # Hvis en rot av ligningen # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # vær kvadratet til den andre, Bevis det # B ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #
La en rot være # Alfa # da vil andre rot være # A ^ 2 #
Så # A ^ 2 + a = -b / a #
og
# A ^ 3 = c / a #
# => A ^ 3-1 = c / a-1 #
# => (A-1) (a ^ 2 + a + 1) = c / a-1 = (c-a) / a #
# => (A-1) (- b / a + 1) = (c-a) / a #
# => (A-1) ((a-b) / a) = (c-a) / a #
# => (A-1) = (c-a) / (a-b) #
# => A = (c-a) / (a-b) + 1 = (c-b) / (a-b) #
Nå #alpha # å være en av røttene til den kvadratiske ligningen # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # vi kan skrive
# Aalpha ^ 2 + Balpha + c = 0 #
# => En ((c-b) / (a-b)) ^ 2 + b ((c-b) / (a-b)) + c = 0 #
# => A (c-b) ^ 2 + b (c-b) (a-b) + c (a-b) ^ 2 = 0 #
# => Ac ^ 2-2abc + ab ^ 2 + abc-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^ 2-2abc + b ^ 2c = 0 #
# => B ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #
beviste
Alternativ
# Aalpha ^ 2 + Balpha + c = 0 #
# => Aalpha + b + c / a = 0 #
# => A (c / a) ^ (1/3) + b + c / ((c / a) ^ (1/3)) = 0 #
# => C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3) = - b #
# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 = (- b) ^ 3 #
# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3)) ^ 3+ (c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 + 3c ^ (1/3) a ^ (2/3) xxc ^ (2/3) a ^ (1/3) (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) = (- b) ^ 3 #
# => Ca ^ 2 + c ^ 2a + 3ca (b) = (- b) ^ 3 #
# => B ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3abc #
