Uten grafer, hvordan bestemmer du om følgende system av lineære ligninger har en løsning, uendelig mange løsninger eller ingen løsning?

Svar:

Et system av # N # lineære ligninger med # N # Ukjente variabler som ikke inneholder ingen lineær avhengighet mellom ligninger (med andre ord, dens avgjørende faktor er ikke-null) vil ha en og eneste en løsning.

Forklaring:

La oss vurdere et system med to lineære ligninger med to ukjente variabler:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Hvis par # (A, B) # er ikke proporsjonal med paret # (D, E) # (det vil si, det er ikke noe slikt nummer # K # at # D = kA # og # E = kB #, som kan kontrolleres etter tilstand # A * E-B * D! = 0 #) så er det en og en eneste løsning:

# X = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # Y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Eksempel:

# X + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Løsning:

# X = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# Y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Hvis par # (A, B) # er proporsjonal med paret # (D, E) # (som betyr at det er et slikt tall # K # at # D = kA # og # E = kB #, som kan kontrolleres av en tilstand # A * E-B * D = 0 #), det er to saker:

(a) uendelig antall løsninger hvis # C # og # F # er proporsjonal med samme koeffisient som #EN# og # D #, det er # F = kC #, hvor # K # er den samme proporsjonalitetskoefficienten;

Eksempel:

# X + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Her # K = 2 # for alle par: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

Den andre ligningen er en triviell konsekvens av den første (bare multipliser den første ligningen av #2#) og gir derfor ingen tilleggsinformasjon om ukjent, og reduserer antall likninger effektivt til 1.

(b) ingen løsninger i det hele tatt, hvis #F! = KC #

Eksempel:

# X + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

I dette tilfellet motsetter ligninger hverandre siden, ved å multiplisere den første med 2, kommer vi til likning # 2x + 8y = 6 #, som ikke kan ha felles løsning med # 2x + 8y = 5 # siden de venstre delene av disse to ligningene er like, men de riktige delene er ikke.